実験Aで使いそうな数式のLaTeX表記を一通り並べてみる回
やった実験の注意事項みたいなことを少しだけ書いてLaTeXer支援として数式をやった実験についてだけまとめてみた。
※式につけられた番号はテキストとは違います。実際にコピペして表示を確かめてください。
[目次]
1. 等電位線
式(1)
V = \frac{V_{0}}{2}\frac{\log{(\frac{R}{D}} \frac{r'}{r})}{\log{\left(\frac{R}{D}\right)}}
式(2)
\frac{r'}{r} = \left(\frac{R}{D}\right)^{\frac{2V}{V_{0}}-1}
= \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{V}{3}-1}
式(3)
$x$ = $\frac{r'}{r}$とおけば
\[
\mathrm{BC}=\frac{15x}{x+1}
\]
\[
\mathrm{BD}=\frac{15x}{x-1}
\]
式(4)
y - \frac{R^{2}y}{x^{2} + y^{2}} = \mathrm{const.}
式(5)
y = \frac{1}{2}\left(c ± \sqrt{c^{2}+4R^{2}}\right)
表示確認・コピペ責任は各自でお願いします.
最初かっこの大きさに問題あってそのまま提出してたけど第4回の実験レポートを書いてるときに直し方に気づいたので上の式は直した状態で書いてます.
2. 光のスペクトル
式(6)
E_{n}=-\frac{hcR}{n^{2}} ~~~~~(n=1, 2, 3, …)
式(7)
h\nu = E_{n1} - E_ {n2} ~~~ 及び ~~~ \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \frac{1}{hc}(E_{n1} - E_{n2})
式(8)
\frac{1}{\lambda} = (E_{n} = E_{2}) = R\left(\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{n^{2}}\right)
式(9)
d\sin\theta_{m} = m\lambda ~~ または ~~ \sin\theta_{m} = m\lambda N ~~~~~ (m = ±1, ±2, ... )
式(10)
\theta_{m}(\mathrm{Na}, \mathrm{D}_{1} : m次) = \frac{\theta_{L} - \theta_{R}}{2}
式(11)
N_{i} = \frac{\sin\theta_{m}}{m\lambda_{i}} ~~~~~ (m = 1, 2 ~~ および ~~ i = 1, 2)
式(12)
\lambda = \frac{\sin\theta_{m}}{mN} ~~~~~ (m = 1, 2, 3)
式(13)
\Delta N = N \sqrt{\left(\frac{\cos \theta_{m}}{\sin \theta_{m}} \Delta \theta \right)^{2} + \left(\frac{\Delta \lambda_{i}}{\lambda_{i}} \right)^{2}}
式(14)
\Delta \theta = \frac{1}{60} \cdot \frac{\pi}{180} = 2.909×10^{-4} ~ \mathrm{rad}
式(15)
\begin{equation}
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \sqrt{\left(\frac{\cos \theta_{m}}{\sin \theta_{m}} \Delta \theta \right)^{2} + \left(\frac{\Delta N}{N} \right)^{2}}
\end{equation}
\[
\therefore \ \ \Delta \lambda = \lambda_{m}\sqrt{\left(\frac{\Delta \theta}{\tan \theta_{m}}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta N}{N}\right)^{2}}
\]
3. 光速度
式(16)
\frac{\Delta v}{v} = \sqrt{\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta T}{T}\right)^{2}}
式(17)
L = d_{1} + d_{2} - d_{3} + n(l_{0} - l_{1}) + l_{1}
式(18)
\frac{\Delta c}{c} = \sqrt{\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta T}{T}\right)^{2}}
式(19)
\Delta n = (n - 1 ) \sqrt{\left(\frac{\Delta t}{t}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta c}{c}\right)^{2} +\left (\frac{\Delta l}{l}\right)^{2}}
こんなもん？
4. 音の共鳴
式(20)
v = f \lambda
式(21)
\lambda_{j} \cdot j = \pi d ~~~ (j = 1, \ 2, \ 3, \cdots)
式(22)
\lambda_{j} = \frac{\pi d}{j}
式(23)
v = \lambda_{j} f_{j} =\frac{\pi d}{j} f_{j}
式(24)
v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}
式(25)
\frac{\Delta v}{v} = \sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta d}{d}\right)^{2}}
5. 放射線
目的は
H. Geiger と W.M$\ddot{\mathrm{u}}$llerガイガー・ミュラー計数管を用いて, 放射性原子の放射性崩壊の法則と物質による放射線の吸収を測定し, 放射線の性質を調べる.
みたいな感じ。
変なNは \cal{N} でかける。もしくは\mathcal{N}。化学式のアルファベットの左に数字を描く方法は \ce{} でかけて具体的には下の通り. ただし、パッケージとしてプリアンブルに\usepackage{mhchem} と書く必要があることので注意.
セシウム137 : $\ce{_{}^{137}Cs}$
バリウム137 : $\ce{_{}^{137}Cs}$
式 (26)
\ce{_{55}^{137}Cs} \rightarrow \ce{_{56}^{137}Ba} + e^{-} +\bar{v}_{e}
式(27)
\frac{\mathrm{d}\cal{N}}{\mathrm{d}t} = -\lambda \cal{N}
式(28)
N_{t} = N_{0} - N_{0} \lambda t
式(29)
\frac{N_{0}}{2} = N_{0}e^{- \lambda \tau}~~より~~\tau = \frac{log{2}}{\lambda} = \frac{0.693}{\lambda}
式(30)
P(N) = \frac{(\bar{N})^{N}}{N!}e^{-\bar{N}}~~,~~~\sum_{N = 0}^{\infty}P(N) = 1
式(31)
G(N) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \bar{N}}}\mathrm{exp} \left\{- \frac{\left(N - \bar{N}\right)^{2}}{2 \bar{N}} \right\}
式(32)
\frac{\mathrm{d} \cal{N}}{\mathrm{d}x} = - \mu \cal{N}
式(33)
\mathcal{N} (x) = \mathcal{N} _{0} e^{- \mu x}
式(34)
\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}_{0}e^{-\mu \rho_{s}}
式(35)
\sigma = \sqrt{\frac{\sum n_{N}\left(N - \bar{N}\right)^{2}}{(\sum n_{N}) - 1}}
式(36)
\sigma_{\beta} = \sqrt{\frac{\bar{N} + \bar{N'}}{n}}
LaTeXで面倒なのは数式だけではなく図もかなり面倒なので計数値分布の表の例を示しておく。
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{計数値分布(測定回数 100 回, ゲート時間 1 秒, 線源の位置 120 mm)}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
計数値 & 出現回数 & 出現確率 & 計数値と $n_{N}N$ の積 & 二乗偏差と $n_{N}$ の積 & ポアッソン分布 \\
$N$ & $n_{N}$ & $n_{N}/\sum n_{N}$ & $n_{N}N$ & $n_{N}(N-\bar{N})^{2}$ & $P(N)$ \\ \hline
0 & 3 & 0.03 & 0 & 36.12& 0.0311 \\
1 & 9 & 0.09 & 9 & 54.91 & 0.108 \\
2 & 20 & 0.2 & 40 & 43.22 & 0.187\\
3 & 19 & 0.19 & 57 & 4.197 & 0.217\\
4 & 26 & 0.26 & 104 & 7.303 & 0.188\\
5 & 10 & 0.1 & 50 & 23.41 & 0.130\\
6 & 6 & 0.06 & 36 & 38.41 & 0.0754\\
7 & 5 & 0.05 & 35 & 62.30 & 0.0374\\
8 & 2 & 0.02 & 16 & 41.04 & 0.0162\\ \hline
合計 & 100 & 1.00 & 347 & 310.9 & 1\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
ついでに
\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{自然界の放射性原子}
\begin{tabular}{ccc} \hline
炭素$^{14}$C&$\beta$線&5.73$\times 10^{3}$ \\
カリウム$^{40}$K&$\beta$線&1.251$\times 10^{9}$ \\
マンガン$^{54}$Mn&$\gamma$線&0.855 \\
コバルト$^{59}$Co&$\beta$線&5.3 \\
カドニウム$^{113}$Cd&$\beta$線&8.04$\times 10^{15}$ \\
インジウム$^{115}$In&$\beta$線&4.41$\times 10^{14}$ \\
セシウム$^{133}$Cs&$\beta$線, $\gamma$線&2.1\\
ネオジム$^{144}$Nd&$\alpha$線&2.29$\times 10^{15}$ \\
プラチナ$^{193}$Pt&$\alpha$線&6.5$\times 10^{11}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
6. 比熱
式(37)
\Delta Q = L \Delta T
式(38)
L = C M
式(39)
L (T - T_{0}) = Ri^{2}t~~~すなわち~~~T(t) = T_{0} + \frac{R i^{2}}{L}t
式(40)
L = M C + mc
式(41)
\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{Ri^{2}}{L} = \frac{Ri^{2}}{MC + mc}
式(42)
\mathrm{d}Q = k(T - T_{\mathrm{A}})\mathrm{d}t
式(43)
\mathrm{d}T = - \frac{\mathrm{d}Q}{L}
式(44)
\mathrm{d}T = -\frac{k}{L}(T - T_{\mathrm{A}}) \mathrm{d}t
式(45)
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = -\frac{k}{L}(T - T_{\mathrm{A}})
式(46)
T(t) - T_{\mathrm{A}} = (T_{\mathrm{m}} - T_{\mathrm{A}}) \mathrm{e}^{-\frac{k}{L}t}
式(47)
\Delta t = \frac{MC + mc}{k} \log \frac{T_{2} - T_{\mathrm{A}}}{T_{1} - T_{\mathrm{A}}}
式(48)
\frac{t_{\mathrm{L}}}{t_{\mathrm{W}}} = \frac{M_{\mathrm{L}}C_{\mathrm{L}} + mc}{M_{\mathrm{W}}C_{\mathrm{W}} + mc}
ここまでが原理。ちょっと数式が多すぎるので以下割愛して本題に。比熱の不確かさを求める式がやばい。基本的にきれいに横に収まらない。私の場合は以下のように書いてぎりぎり入ったので妥協してます。ほかにいい方法があったらコメントで募集中です。
式(49)
\begin{equation}
\begin{split}
&\Delta C \\
&= \sqrt{\left(\frac{\partial C}{\partial R}\right)^{2}(\Delta R)^{2} +\left(\frac{\partial C}{\partial i}\right)^{2}(\Delta i)^{2} + \left(\frac{\partial C}{\partial M}\right)^{2}(\Delta M)^{2} + \left(\frac{\partial C}{\partial m}\right)^{2}(\Delta m)^{2} + \left(\frac{\partial C}{\partial c}\right)^{2}(\Delta c)^{2} + \left(\frac{\partial C}{\partial a}\right)^{2}(\Delta a)^{2} } \\
&= \frac{1}{M}\sqrt{\left(\frac{i^{2}}{a} \right)^{2}(\Delta R)^{2} +\left(\frac{2Ri}{a} \right)^{2}(\Delta i)^{2} +\left(\frac{mc}{M} - \frac{Ri^{2}}{Ma} \right)^{2}(\Delta M)^{2} +\left(c^{2} \right)^{2}(\Delta m)^{2} +m^{2}(\Delta c)^{2} +\left(\frac{Ri^{2}}{a^{2}} \right)^{2}(\Delta a)^{2} } \\
\end{split}
\end{equation}
7. ヤング率
式(50)
\sigma = E \epsilon
式(51)
h = \frac{l^{3}}{4a^{3}bE}
式(52)
h = r \sin \theta \cong r \theta
式(53)
S - S_{0} = d \tan (2\theta ) \cong 2d\theta
式(54)
h = r \theta = r\frac{S - S_{0}}{2d}
式(55)
E = \frac{g}{2} \frac{l^{3}d}{a^{3}br} \frac{m}{S - S_{0}}
以上が原理で使う式
比熱と同様に不確かさの導出式を書くのは面倒だがこっちは良心的
式(56)
\begin{equation}
\begin{split}
&\Delta E \\
&= \sqrt{\left(\frac{\delta E}{\delta l}\right)^{2}(\Delta l)^{2} +\left(\frac{\delta E}{\delta d}\right)^{2}(\Delta d)^{2} + \left(\frac{\delta E}{\delta a}\right)^{2}(\Delta a)^{2} + \left(\frac{\delta E}{\delta b}\right)^{2}(\Delta b)^{2} + \left(\frac{\delta E}{\delta r}\right)^{2}(\Delta r)^{2} + \left(\frac{\delta E}{\delta \alpha}\right)^{2}(\Delta \alpha)^{2} } \\
&= \sqrt{\left(\frac{3E}{l} \right)^{2}(\Delta l)^{2} +\left(\frac{E}{d} \right)^{2}(\Delta e)^{2} +\left(-\frac{3E}{a} \right)^{2}(\Delta a)^{2} +\left(\frac{-E}{b} \right)^{2}(\Delta b)^{2} +\left(\frac{-E}{r} \right)^{2}(\Delta r)^{2} +\left(\frac{E}{\alpha} \right)^{2}(\Delta \alpha)^{2} } \\
&=E\sqrt{\frac{9(\Delta l)^{2}}{l^{2}} + \frac{(\Delta d)^{2}}{d^{2}} + \frac{9(\Delta a)^{2}}{a^{2}} +\frac{(\Delta b)^{2}}{b^{2}} +\frac{(\Delta r)^{2}}{r^{2}} +\frac{(\Delta \alpha)^{2}}{\alpha^{2}} }
\end{split}
\end{equation}
中括弧で2式を括って表示する方法。
以下。
式(57)
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
k = \frac{E}{3(1-2\sigma)} \\
G = \frac{E}{2(1+ \sigma)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ちなみにヤング率(物質の曲がりやすさのこと)はヤング率の大きい物質、つまり柔らかそうな物質を選んで実験した方が結果がわかりやすくておすすめです。
8. 電気回路
式(58)
V_{R}(t) = RI(t)
式(59)
q(t) = CV_{C}(t)
式(60)
I(t) = \frac{\df q (t)}{\df t}
式(61)
V_{L}(t) = -L \frac{\df I(t)}{\df t}
式(62)
V - L \frac{\df I(t)}{\df t} = R I(t) + \frac{q(t)}{C}
式(63)
\frac{\df^{2} I(t)}{\df t^{2}} + 2\gamma \frac{\df I(t)}{\df t} + \omega_{0}^{2} I(t) = 0
式(64)
\begin{enumerate}
\item $\gamma < \omega_{0}$ (減衰振動)
\begin{equation}
I(t) = e^{-\gamma t}(a \sin \omega_{1}t + b\cos \omega_{1} t)
\end{equation}
\item $\gamma > \omega_{0}$ (過減衰)
\begin{equation}
I(t) = e^{-\gamma t}(a e^{\omega_{1}t}+ be^{-\omega_{1}t})
\end{equation}
\item$\gamma = \omega_{0}$ (臨海減衰)
\begin{equation}
I(t) = e^{-\gamma t}(at + b)
\end{equation}
\end{enumerate}
大体原理はこんな感じ
以下例としてこんな図を描くこともできるのでお試しあれ
\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{過減衰の回路定数}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
\multicolumn{2}{|c|}{減衰振動}&\multicolumn{2}{|c|}{過減衰}\\ \hline
$\gamma$/$\mathrm{s^{-1}}$&傾きの大きさ$\mu s^{-1}$&$\gamma - \omega_{1}$/$\mathrm{s^{-1}}$&傾きの大きさ$\mu s^{-1}$\\ \hline
$1.720\times 10^{3}$& 2.16 $\times 10^{3}$&$3\times10^{3}$&2.70$\times 10^{3}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
9. 重力加速度
式(65)
g = \frac{GM}{R^{2}} - R\omega^{2} \cos^{2} \phi
式(66)
g = (9.824 - 0.03\cos^{2}\phi)\mathrm{m/s^{2}}
式(67)
T = 2\pi \sqrt{\frac{h}{g}}
式(68)
g = \frac{4\pi^{2}h}{T^{2}}
式(69)
\left(1+\frac{1}{200} \right)^{2} = 1 + \frac{1}{100} + \frac{1}{40000} \cong 1+ \frac{1}{100}
式(70)
\frac{1}{T_{0}} - \frac{1}{T} = \frac{\pm 1}{\tau}
式(71)
T = T_{0} \pm \frac{T_{0}^{2}}{\tau \mp T_{0}}
式(72)
\Delta f = |f - f_{0} | ~~~すなわち~~~ \frac{1}{\tau} = \left|\frac{1}{T} - \frac{1}{T_{0}} \right|
式(73)
T = 2\pi \sqrt{\frac{h}{g}\left(1+\frac{2r^{2}}{5h^{2}} \right)} \left(1+\frac{\theta^{2}}{16}\right)
式(74)
g = \frac{4\pi^{2}h}{T^{2}}\left(1+\frac{2r^{2}}{5h^{2}}+\frac{\theta^{2}}{8}\right)
式(75)
I\frac{\mathrm{d}^{2} \theta}{\mathrm{d}t^{2}} = -Mgh \sin \theta
式(76)
\frac{\mathrm{d}^{2} \theta}{\mathrm{d}t^{2}} = -\frac{Mgh\theta}{I} = -\omega^{2} \theta
式(77)
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgh}}
式(78)
T =2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgh}} \cdot \left( 1+\frac{1}{16}\theta^{2} + \frac{9}{1024}\theta^{4} + \cdots \right)
式(79)
I = \frac{2}{5}M\left (\frac{d}{2}\right)^{2} + Mh^{2}
以上原理、以下必要そうなものを並べていく。既にほかの実験で書いた式と同形のものもあるがこの実験を先に行う場合も考えて先の表記に関係なく書く。
式(80)
\begin{equation}
\begin{split}
T_{1} = & T_{0} + \frac{T_{0}^{2}}{\tau -T_{0}} \\
&=2 + \frac{4}{165.9-2}\\
&=2.024405 \\
& \cong 2.024 ~\mathrm{s}
\end{split}
\end{equation}
式(81)
\begin{equation}
\bar{g} = \frac{\frac{g_{1}}{(\Delta g_{1})^{2}}+\frac{g_{2}}{(\Delta g_{2})^{2}}+ \cdots +\frac{g_{n}}{(\Delta g_{n})^{2}}}{\frac{1}{(\Delta g_{1})^{2}}+\frac{1}{(\Delta g_{2})^{2}} +\cdots +\frac{1}{(\Delta g_{n})^{2}}}
\end{equation}
式(82)
\begin{equation}
\Delta g = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{(\Delta g_{1})^{2}}+ \frac{1}{(\Delta g_{2})^{2}} + \cdots + \frac{1}{(\Delta g_{n})^{2}}}}
\end{equation}
10. 光電効果
式(83)
K = h \nu - W
箇条書きの方法は以下
\begin{enumerate}
\item 金属に固有の限界振動数より小さい振動数の光では光の強度によらず光電子は観測されない.
\item 光電子の運動エネルギーは光の振動数に依存し, 光の強度によらない.
\item 光の振動数が一定で, 強度が増えると光電子の数が増加する.
\end{enumerate}
以下は丸々コピペしないように。箇条書きの方法2つ目。
\begin{enumerate}
\item 電流計
\begin{itemize}
\item 電流計はウォームアップのために電源を付けてから 10 分から 20 分放置した.
\item 直流電流測定モード(DCI)とした.
\item 最も高い精度で計測するために, 100NPLCと表示させて実験した.
\end{itemize}
\item 測定の準備
\begin{itemize}
\item NULLがオフになっていることを確認し, ランプを点灯, 光電管に 2 V 印加されるように調整した.
\item 赤色フィルタを挿入し, 電流計を 10 回測定した.
\item 橙, 黄, 青色フィルタについて同じ測定を行った.
\item 正負に注意して全測定の中で最も大きい電流計が出現するフィルタを挿入した.
\item 表示される測定値が初めに測定した最大値と同程度となったときNULLキーを押した.
\item 数回の値の平均が負となったことを確認した.
\end{itemize}
\end{enumerate}
以下はちょっと面白い表の書き方。マルチコラム(multicolumn)とあるのが見所さん。
3列に対して一つのタイトル？を付けるのに成功してる。実は先の実験でも似たようなのがある。
\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{絞り板と光電流の関係}
\begin{tabular}{cccc} \hline
\multicolumn{1}{c}{絞り板の大きさmm}&\multicolumn{3}{c}{測定値} \\ \hline
20&1466.3&1466.4&1466.2\\
14&1287.6&1288&1287.8\\
10&992.9&992.8&992.5\\
7&555.8&555.4&555.2\\
5.5&368.9&368.8&370.2\\
3.5&124.9&125&125.8\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
※注意事項・補足情報
ラテフに直接表を書き込むのは面倒だけどやりたい人は下のテンプレどうぞ
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{★表のタイトルをここに（表番号はいらないよ）★}
\begin{tabular}{|c|l|} \hline %絶対値記号は縦罫線・crlでそれぞれの列の文字のそろえ方を指定（その数で横の幅が決まる）
★ & ★ \\ \hline
★ & ★ \\
★ & ★ \\
★ & ★ \\
★ & ★ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table} %わからなかったらとりあえず実行してみるのがコツ?
表でも段組み（新聞みたいなやつ）ができるので詳しく知りたい人は自分で調べてどうぞ。いまいち実験では使いどころがなかったので省略。
ここ見てる人にラテフの説明とかいらないかもしれないけど $hogehoge$ で文章の途中に数式が挟めて, \begin{equation} ~ \end{equation} で行を変えた数式がかけて, 式番号が自動で追加されて, 単に\[ ~ \] で式番号なしの改行された数式がかける
